Question

已知正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在體積等于36π的球O的表面上．若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則球心O到平面ABC的距離等于

1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)球的體積計(jì)算出球的半徑，將PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對(duì)角線，求出對(duì)角線長(zhǎng)，即為球的直徑，而球心O到平面ABC的距離為體對(duì)角線的

1

3

．

解答：解：∵體積等于36π⇒球的半徑R=3．
空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，
則PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，
所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對(duì)角線，
長(zhǎng)為3，球心O到平面ABC的距離為體對(duì)角線的

1

3

，即球心O到平面ABC的距離為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體知識(shí)，球的表面積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，分析出，正方體的對(duì)角線就是球的直徑是解好本題的關(guān)鍵所在．