Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{k}{|x|}$-1（x≠0），k∈R．
（1）當(dāng)k=3時(shí)，試判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若對任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）當(dāng)k∈R時(shí)，試討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=3，x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=x-$\frac{3}{x}-1$，${f}^{'}（x）=1+\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．利用定義法能進(jìn)行證明．
（2）設(shè)2^x=t，則t＞0，f（t）=t+$\frac{k}{t}-1$，根據(jù)k＞0，k=0，k＜0三個(gè)情況進(jìn)行分類討論經(jīng)，能求出k的取值范圍．
（3）根據(jù)k=0，k＞0，k＜0三種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)k=3，x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=x-$\frac{3}{x}-1$，
${f}^{'}（x）=1+\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
證明：在（-∞，0）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}-\frac{3}{{x}_{1}}-1$）-（${x}_{2}-\frac{3}{{x}_{2}}-1$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，∴${x}_{1}-{x}_{2}＜0，1+\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)2^x=t，則t＞0，f（t）=t+$\frac{k}{t}-1$，
①當(dāng)k＞0時(shí)，f′（t）=1-$\frac{k}{{t}^{2}}$，
t=$\sqrt{k}$時(shí)，f′（t）=0，且f（t）取最小值，
f（$\sqrt{k}$）=$\sqrt{k}+\frac{k}{\sqrt{k}}-1$=2$\sqrt{k}$-1，
當(dāng)k$＞\frac{1}{4}$時(shí)，f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1＞0，
當(dāng)0＜k≤$\frac{1}{4}$時(shí)，f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1≤0，
∴k＞$\frac{1}{4}$時(shí)，f（2^x）＞0成立；0＜k≤$\frac{1}{4}$時(shí)，f（2^x）＞0不成立．
②當(dāng)k=0時(shí)，f（t）=t-1，
∵t∈（0，+∞），不滿足f（t）恒大于0，∴舍去．
③當(dāng)k＜0時(shí)，f${\;}^{'}（t）=1-\frac{k}{{t}^{2}}$恒大于0，
∵$\underset{lim}{x→{0}^{+}}f（t）=-∞$，且f（x）在（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，
∴不滿足f（t）＞0恒成立．
綜上，k的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，+∞）．
（3）①當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=x-1，有1個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)k＞0時(shí)，
（i）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{k}{x}$-1，f′（x）=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x=$\sqrt{k}$時(shí)，f（x）取極小值，且f（x）在（0，+∞）內(nèi)先減后增，
由f（x）函數(shù)式得$\underset{lim}{x→{0}^{+}}f（x）=\underset{lim}{x→+∞}f（x）=+∞$，
f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1，
當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（$\sqrt{k}$）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)k＞$\frac{1}{4}$時(shí)，f（$\sqrt{k}$）＞0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)有0個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{4}$時(shí)，f（$\sqrt{k}$）＜0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)．
（ii）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x-$\frac{k}{x}$-1，f′（x）=1+$\frac{k}{{x}^{2}}$，
f′（x）恒大于0，∴f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，
由f（x）表達(dá)式，得：$\underset{lim}{x→-∞}f（x）=-∞$，$\underset{lim}{x→{0}^{-}}f（x）=+∞$，
∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)k=0時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k＞$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)．
③當(dāng)k＜0時(shí)，同理k＞0的情況：
當(dāng)-$\frac{1}{4}$＜k＜0時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)k=0或k＞$\frac{1}{4}$或k＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k=$\frac{1}{4}$或k=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{4}$＜k＜0時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查孫的單調(diào)性的判斷及證明，考查實(shí)數(shù)物取值范圍的求法，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高．