Question

18．下列四個命題中，正確的是②③④（寫出所有正確命題的序號）
①函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4]；
②設集合A={-1，0，1}，B={-1，1}，則在A到B的所有映射中，偶函數共有4個；
③不存在實數a，使函數$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域為（0，1]
④函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-ax+3a）$在[2，+∞）上是減函數，則-4＜a≤4．

Answer 1

分析 ①，函數f（x）的定義域為[0，2]，0≤2x≤2，則函數f（2x）的定義域為[0，1]；
②，依題意可知依題意可知f（-1）=f（1），進而分值域中有1、2個元素進行討論．當值域中只有一個元素時，此時滿足題意的映射有2種，當值域中有兩個元素時，此時滿足題意的映射有2個；
③，若存在實數a，使函數$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域為（0，1]時，ax²+2ax+3的值域為（-∞，0]，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{4{a}^{2}-12a=0}\end{array}\right.$，a∈∅；
④，令t=x²-ax+3a，則由函數f（x）=g（t）=log$\frac{1}{2}$t 在區(qū)間[2，+∞）上為減函數，可得函數t在區(qū)間[2，+∞）上為增函數且t（2）＞0，解得a．

解答 解：對于①，函數f（x）的定義域為[0，2]，0≤2x≤2，則函數f（2x）的定義域為[0，1]，故錯；
對于②，依題意可知f（-1）=f（1），進而分值域中有1、2個元素進行討論．當值域中只有一個元素時，此時滿足題意的映射有2種，當值域中有兩個元素時，此時滿足題意的映射有2個，共有4個，故正確；
對于③，若存在實數a，使函數$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域為（0，1]時，ax²+2ax+3的值域為（-∞，0]，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{4{a}^{2}-12a=0}\end{array}\right.$，a∈∅，故正確；
對于④，函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-ax+3a）$在[2，+∞）上是減函數，則令t=x²-ax+3a，則由函數f（x）=g（t）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$ 在區(qū)間[2，+∞）上為減函數，
可得函數t在區(qū)間[2，+∞）上為增函數且t（2）＞0，解得-4＜a≤4，故正確．
故答案為：②③④

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數的概念及性質，屬于中檔題．