Question

8．在△ABC中，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，若動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=2$λ\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則點(diǎn)P的軌跡與直線AB，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為（　　）

• A． 3$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{6}$
• C． 6$\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點(diǎn)軌跡，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面積，從而求出圍成封閉區(qū)域的面積，從而求出圍成封閉區(qū)域的面積．

解答 解：延長AB至D，使得AD=2AB，連結(jié)CD，則
∵$\overrightarrow{AP}$=2$λ\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$．
∴C，D，P三點(diǎn)共線．
∴P點(diǎn)軌跡為直線CD．
在△ABC中，sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．sinC=$\frac{5}{7}$．
由正弦定理得AB=5．
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{12\sqrt{6}}{35}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×5×7×\frac{12\sqrt{6}}{35}$=6$\sqrt{6}$
∴S_△ACD=2S_△ABC=12$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定P點(diǎn)軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題．