Question

19．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，$SA=SC=\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別為AB，SB的中點．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求銳二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點O，連結(jié)OS，BO，通過證明AC⊥平面SOB得出AC⊥SB；
（2）設(shè)OB與CE交于點G，取OB中點為M，作MH⊥CE交CE于點H，連結(jié)FM，F(xiàn)G．證明CE⊥平面FMH，故而∠FHM為所求角，利用相似比和勾股定理計算FH，F(xiàn)M，得出cos∠FHM．

解答 證明：（1）取AC的中點O，連結(jié)OS，BO．
∵SA=SC，AB=AC，O是AC的中點，
∴AC⊥SO，AC⊥BO，又SO?平面SOB，OB?平面SOB，SO∩OB=O，
∴AC⊥平面SOB，又SB?平面SOB，
∴AC⊥SB．
（2）設(shè)OB與CE交于點G，取OB中點為M，作MH⊥CE交CE于點H，連結(jié)FM，F(xiàn)G．
∵平面SAC⊥平面ABC，AC⊥SO，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC，
∵FM是△SOB的中位線，
∴SO∥FM，
∴FM⊥平面BCE，又CE?平面ABC，
∴FM⊥CE，又CE⊥HM，F(xiàn)M?平面FMH，MH?平面FMH，F(xiàn)M∩MH=M，
∴CE⊥平面FMH．
∴CE⊥FH，
∴∠FHM是二面角F-CE-B的平面角．
∵△GHM∽△GEB，∴$\frac{HM}{EB}=\frac{GM}{GB}$，
∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴EB=1，BM=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GB=$\frac{2}{3}$OB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{GH}{GB}=\frac{1}{4}$，∴$HM=\frac{1}{4}$，
∵SA=SC=$\sqrt{3}$，AC=2，∴SO=$\sqrt{2}$，
又FM=$\frac{1}{2}$SO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴FH=$\sqrt{F{M}^{2}+M{H}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$cos∠FHM=\frac{HM}{FH}=\frac{1}{3}$，故銳二面角F-CE-B的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，二面角的作法與計算，也可使用向量法解出，屬于中檔題．