Question

10．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AD，BC的中點，P是CD上一點，Q是AB上一點，PM與QN交于R，A是原點，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}$，求t的值；
（2）求證：$\overrightarrow{AR}=f（t）\overrightarrow{AC}$．

Answer 1

分析 （1）求出相關向量，利用 $\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}$?$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{NP}$=0，求解即可．
（2）R，M，P三點共線，設出$\overrightarrow{MR}$=x$\overrightarrow{MP}$，R，N，Q三點共線，可設$\overrightarrow{NR}$=y$\overrightarrow{NQ}$，然后列出方程組求解證明即可．

解答 （1）解：$\overrightarrow{MP}$=（t，1）-（0，$\frac{1}{2}$）=（t，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{NP}$=（t，1）-（2，$\frac{1}{2}$）=（t-2，$\frac{1}{2}$）…（3分）
$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{NP}$=0，所以t（t-2）+$\frac{1}{4}$=0，t=1±$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（6分）
（2）證明：R，M，P三點共線，可設$\overrightarrow{MR}$=x$\overrightarrow{MP}$，所以 $\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{AM}$+x $\overrightarrow{MP}$=（xt，$\frac{1}{2}$（1+x））
R，N，Q三點共線，可設$\overrightarrow{NR}$=y$\overrightarrow{NQ}$，
所以$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{AN}$+y$\overrightarrow{NQ}$=（2+y（t-2），$\frac{1}{2}$（1-y））…（10分）
根據(jù)平面向量的基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{xt=2+y（t-2）}\\{\frac{1}{2}（1+x）=\frac{1}{2}（1-y）}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{1}{t-1}$，y=-$\frac{1}{t-1}$所．
以$\overrightarrow{AR}$=（$\frac{t}{t-1}$，$\frac{t}{2（t-1）}$ ）=$\frac{t}{2（t-1）}$ （2，1）=$\frac{t}{2（t-1）}$ $\overrightarrow{AC}$．…（15分）

點評 本題考查向量的應用，向量共線與垂直條件的應用，考查計算能力．