Question

14．若對(duì)一切實(shí)數(shù)x不等式asinx-cos²x≤3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，3]．

Answer 1

分析 化余弦為正弦，再利用換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意t∈[-1，1]，都有t²+at-4≤0成立，最后借助于二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組求解．

解答 解：由asinx-cos²x≤3，得sin²x+asinx-4≤0，
令sinx=t（-1≤t≤1），
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意t∈[-1，1]，都有t²+at-4≤0成立，
∵△=a²+16＞0，令g（t）=t²+at-4．
∴有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=-a-3≤0}\\{g（1）=a-3≤0}\end{array}\right.$，解得-3≤a≤3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，3]．
故答案為：[-3，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求解恒成立問(wèn)題，是中檔題．