【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)利用題中條件求出的值,然后根據(jù)離心率求出的值,最后根據(jù)、、三者的關(guān)系求出的值,從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)分兩種情況進(jìn)行計(jì)算:第一種是在從點(diǎn)所引的兩條切線的斜率都存在的前提下,設(shè)兩條切線的斜率分別為、,并由兩條切線的垂直關(guān)系得到,并設(shè)從點(diǎn)所引的直線方程為,將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程,利用得到有關(guān)的一元二次方程,最后利用以及韋達(dá)定理得到點(diǎn)的軌跡方程;第二種情況是兩條切線與坐標(biāo)軸垂直的情況下求出點(diǎn)的坐標(biāo),并驗(yàn)證點(diǎn)是否在第一種情況下所得到的軌跡上,從而得到點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析:(1)由題意知,且有,即,解得,
因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)①設(shè)從點(diǎn)所引的直線的方程為,即,
當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時(shí),分別設(shè)為、,則,
將直線的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得,
,
化簡(jiǎn)得,即,
則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根,則,
化簡(jiǎn)得;
②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂直,則的坐標(biāo)為,此時(shí)點(diǎn)也在圓上.
綜上所述,點(diǎn)的軌跡方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)72名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明,得到如下列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | ||
讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 | 16 | 28 | 44 | |
不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 | 20 | 8 | 28 | |
總計(jì) | 36 | 36 | 72 |
(1)根據(jù)以上列聯(lián)表判斷,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為性別和是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明有關(guān)系呢?
(2)從被詢問(wèn)的28名不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的大學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到女生人數(shù)
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={(x1 , x2 , x3 , x4 , x5)|xi∈{﹣1,0,1},i={1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為( )
A.60
B.90
C.120
D.130
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,F(xiàn)E∥CD,交PD于點(diǎn)E.
(1)證明:CF⊥平面ADF;
(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(c為常數(shù)),且f(1)=0.
(1)求c的值;
(2)證明函數(shù)f(x)在[0,2]上是單調(diào)遞增函數(shù);
(3)已知函數(shù)g(x)=f(ex),判斷函數(shù)g(x)的奇偶性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中:
①定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);②若f(2)=f(-2),則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);③函數(shù)y=x-0.5是(0,1)上的減函數(shù);④對(duì)應(yīng)法則和值域相同的函數(shù)的定義域也相同;⑤若x0是二次函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.
寫(xiě)出上述所有正確結(jié)論的序號(hào):_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲與乙午覺(jué)醒來(lái)后,發(fā)現(xiàn)自己的手表因故停止轉(zhuǎn)動(dòng),于是他們想借助收音機(jī),利用電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)確認(rèn)時(shí)間.
(1)求甲等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率;
(2)求甲比乙多等待10分鐘以上的概率.
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