已知正方體ABCD、EFGH的棱長為1,現(xiàn)從8個頂點(diǎn)中隨機(jī)取3個點(diǎn)構(gòu)成三角形,設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的三角形的面積.
(I)求概率P(X=
12
)
;
(II)求X的分布形列及數(shù)學(xué)期望E(X).
分析:(I)從正方體的8個頂點(diǎn)中任意取3個構(gòu)成三角形的頂點(diǎn)共有
C
3
8
種取法,然后借助于正方體找出面積分別為
1
2
的三角形的個數(shù),利用等可能事件的概率公式即可求解
(II)先判斷出由正方體的頂點(diǎn)組成的三角形的面積的可能值即X可能取值,求出其概率,即可求解分布列和期望
解答:解:(I)從正方體的8個頂點(diǎn)中任意取3個構(gòu)成三角形的頂點(diǎn)共有
C
3
8
種取法
其中X=
1
2
的三角形如圖中的△ABC,這類三角形共有24個
∴P(X=
1
2
)=
24
C
3
8
=
3
7

(II)由(I)知,形如△BEG的三角形有8個,其面積為
3
2

形如△ABC的三角形有4×6=24個,這些三角形的面積都是
1
2

形如△ABG的三角形有4×6=24個,這些三角形的面積都是
2
2

而X可能取值有
1
2
2
2
,
3
2

P(X=
3
2
)=
8
C
3
8
=
1
7

P(X=
2
2
)=
24
56
=
3
7

∴隨機(jī)變量X的分布列為

EX=
1
2
×
3
7
+
2
2
×
3
7
+
3
2
×
1
7
=
3+3
2
+
3
14
點(diǎn)評:本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的求解,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各種情況下的概率
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)P在平面DD1C1C內(nèi),PD1=PC1=
2
.求證:
(1)平面PD1A1⊥平面D1A1BC;
(2)PC1∥平面A1BD.

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3
6
3
6

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(2)求異面直線AD1與 C1O所成角的大。

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