Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x，y）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用|OP|的值求得x和y的關(guān)系式，同時(shí)利用求得x和y的另一關(guān)系式，進(jìn)而求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則可利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則可表示出，利用=0求得m的值．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則由；
由得，
即．
所以c=1
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184452931405066/SYS201310241844529314050021_DA/7.png">．
因此所求橢圓的方程為：．
（2）動(dòng)直線l的方程為：，
由得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則．
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則．

=
=
=
=
由假設(shè)得對于任意的恒成立，
即解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和推理的能力．