已知分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點的兩點，直線與交于點，直線與交于點．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點，求直線的方程．

（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析；②.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為，列出方程組即可求出和；（Ⅱ）①欲證：，只需證：，找到這個結(jié)論成立的條件，然后證明這些條件滿足即可；②分成和直線斜率存在兩種情況，利用經(jīng)過這一條件，把問題變成直線與橢圓的交點，從而可以借助一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系解題.
試題解析：（Ⅰ）由題，，由點在橢圓上知，則有：
，①
又，                   ②
以上兩式可解得，．所以橢圓．                4分
（Ⅱ）① 設(shè)，則直線：、直線：，
兩式聯(lián)立消去得：；
同理：直線：、：，聯(lián)立得：．  6分
欲證：，只需證：，只需證：，
等價于：，
而，，所以，
故有：．                                 9分
② (1)當(dāng)時，由可求得：；             10分
(2)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)：，

由（Ⅱ）知：，
將，代入上式得：，
解得，由①知．
綜合(1) (1)，，故直線：．                      14分.
考點：直線與橢圓的方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標(biāo)分別為、，求證：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為橢圓的左，右焦點，為橢圓上的動點，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過點作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點，為橢圓的左頂點。試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標(biāo)方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標(biāo)系下的方程；
（II）設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點，求證為鈍角.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4，過點的直線交橢圓于點
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓  
（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓圓動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
（2）是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點，當(dāng)圓的半徑最長時,求.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案