Question

（2013•松江區(qū)二模）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sinAcosC+cosAsinC=

3

2

，若b=

7

，△ABC的面積S△ABC=

3

4

3

，求a+c的值．

Answer 1

分析：由條件可知sin(A+C)=

3

2

，根據△ABC的面積S△ABC=

3

4

3

，求得ac=3，分B為銳角和鈍角兩種情況，
再由余弦定理求得a+c的值．

解答：解：在△ABC中，由條件sinAcosC+cosAsinC=

3

2

可知，sin(A+C)=

3

2

，
即sinB=

3

2

，∵S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

3

，∴ac=3．
根據b=

7

，若B為銳角，則cosB=

1

2

，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
于是，7=(a+c)2-2•3(1+

1

2

)，∴a+c=4．
若B為鈍角，則cosB=-

1

2

，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
于是，7=(a+c)2-2•3(1-

1

2

)，解得a+c=

10

．
綜上可得，a+c=4或

10

．

點評：本題主要考查余弦定理，兩角和差的正弦公式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．