Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 過點（1，e）．
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞0時，求 的最小值；
（3）試判斷方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）的根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）= 過點（1，e）．得e1+b=e，可得b=0，

∴f（x）= （x≠0），f′（x）= ，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，

y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）．（0，1）

（2）解：設(shè)g（x）= = ，（x＞0），g′（x）= ，令g′（x）=0，解得x=2，

x∈（0，2）時，g′（x）＜0，x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，

∴g（x）在區(qū)間（0，2）上遞減，在（2，+∞）遞增，

∴ 的最小值為g（2）=

（3）解：方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）m= =g（x）

g′（x）= ，易知x＜0時，g′（x）＞0．

結(jié)合（2）可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）上遞減，在（﹣∞，0），（2，+∞）遞增．

原問題轉(zhuǎn)化為y=m與y=g（x）交點個數(shù)，其圖象如下：

當(dāng)m≤0時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）的根的個數(shù)為0；

當(dāng)0＜m＜ 時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）的根的個數(shù)為1；

當(dāng)m= 時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）的根的個數(shù)為2；

當(dāng)m 時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）的根的個數(shù)為3；

【解析】（1）依題意得e1+b=e，可得b=0，即f（x）= （x≠0），求導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)g（x）= = ，（x＞0），g′（x）= ，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求最值．（3）方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數(shù)）m= =g（x） 利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）上遞減，在（﹣∞，0），（2，+∞）遞增．畫出圖象，結(jié)合圖象求解，
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．