Question

求證：方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345無(wú)實(shí)數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專(zhuān)題：證明題,反證法

分析：利用反證法，假設(shè)方程有實(shí)數(shù)解x=n+a，其中n屬于Z，0≤a＜1，代入原方程化簡(jiǎn)、變形，得[2a]+[4a]+[8a]+[16a]+[32a]=12345-63n，可得195.04≤n≤195.95，而這樣的整數(shù)n不存在，故原方程無(wú)實(shí)數(shù)解．

解答： 證明：假設(shè)方程有實(shí)數(shù)解x=n+a，其中n屬于Z，0≤a＜1，于是，
[x]=n
[2x]=2n+[2a]
[4x]=4n+[4a]
[8x]=8n+[8a]
[16x]=16n+[16a]
[32x]=32n+[32a]
代入原方程化簡(jiǎn)、變形，得
[2a]+[4a]+[8a]+[16a]+[32a]=12345-63n
由于0≤a＜1，因而0≤[ka]≤k-1
故0≤12345-63n≤1+3+7+15+31=57
∴195.04≤n≤195.95
而這樣的整數(shù)n不存在，
故原方程無(wú)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用反證法的步驟是關(guān)鍵．