Question

已知函數(shù)f(x)=

1+lnx

x-1

(x＞1)
（1）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞

k

x

恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可，注意其定義域；
（2）已知當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞

k

x

恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）的最小值大于k即可，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的最值問(wèn)題，從而求解；

解答：解：（1）∵f(x)=

1+lnx

x-1

，
∴f′(x)=

-1-xlnx

(x-1)2

，當(dāng)x＞1時(shí)，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞減．
（2）令g(x)=

x(1+lnx)

x-1

，則x＞1時(shí)，g（x）＞k恒成立，
只需g（x）_min＞k，g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，
記h（x）=x-2-lnx，
∴h′(x)=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上連續(xù)遞增，又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上存在唯一的實(shí)根a，且滿(mǎn)足a∈（3，4），使得a-2-lna=0，即a-1=1+lna，
∴當(dāng)1＜x＜a時(shí)h（x）＜0，即g'（x）＜0；當(dāng)x＞a時(shí)h（x）＞0，
即g'（x）＞0，g(x)min=g(a)=

a(1+lna)

a-1

=a∈(3，4)，
故正整數(shù)k的最大值為3；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，還考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題的過(guò)程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，是一道中檔題；