Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），是否存在k的值，使得直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．且EC⊥ED，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，依題意列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）聯(lián)立方程組，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，由此利用韋達定理、根的判別式、向量的數(shù)量積，能求出實數(shù)k的值．

解答 解：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，
依題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（2）聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+{3k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+{3k}^{2}}$，…②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k₂x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∵CE⊥DE，
則y₁x₁+y₂x₂+1=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k₂+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
將②代入③整理得k=$\frac{7}{6}$，
經(jīng)驗證k=$\frac{7}{6}$使得①成立，
綜上可知，k=$\frac{7}{6}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、向量的數(shù)量積、橢圓性質的合理運用．