Question

7．盒中裝有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各取2個，從袋中一次性任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等．
（1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；
（2）用ξ表示取出的三個小球上的最小數(shù)字，求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A，一次取出的三個小球上有兩個數(shù)字相同的事件記為B，則事件A和B是對立事件，由此利用對立事件概率計算公式能求出取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率．
（2）由題意ξ=1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A，
一次取出的三個小球上有兩個數(shù)字相同的事件記為B，
則事件A和B是對立事件，
∴取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率：
P（A）=1-P（B）=1-$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由題意ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{6}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴隨機(jī)變量ξ的概率分布為：

ξ	1	2	3	3
P	$\frac{8}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{30}$

Eξ=$1×\frac{8}{15}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{2}{15}+4×\frac{1}{30}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運(yùn)用．