Question

19．關(guān)于θ 的函數(shù)f（θ）=cos²θ-2xcosθ-1的最大值記為M（x），則M（x）的解析式為$\left\{\begin{array}{l}{2x}&{x≥0}\\{-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 將函數(shù)配方，得到對(duì)稱軸為x，再由cosθ∈[-1，1]，判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值．

解答 解：∵f（θ）=cos²θ-2xcosθ-1=（cosθ-x）²-1-x²，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（θ）的最大值為cosθ=-1時(shí)f（θ）_max=（-1-x）²-1-x²=2x，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（θ）的最大值為cosθ=1時(shí)f（θ）_max=（1-x）²-1-x²=-2x，
∴M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x}&{x≥0}\\{-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{2x}&{x≥0}\\{-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值．