Question

11．已知a+2b=1且b＞1，則$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$的取值范圍是（-2，1-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$=$\frac{1}{1-2b}$+$\frac{1}$-2，再令f（x）=$\frac{1}{1-2x}$+$\frac{1}{x}$-2，x＞1；從而求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求取值范圍．

解答 解：∵a+2b=1且b＞1，
∴a=1-2b，
$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$=$\frac{1}{1-2b}$+$\frac{1-2b}$=$\frac{1}{1-2b}$+$\frac{1}$-2，
令f（x）=$\frac{1}{1-2x}$+$\frac{1}{x}$-2，x＞1；
則f′（x）=$\frac{2}{（1-2x）^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{1-2x}$+$\frac{1}{x}$）（$\frac{\sqrt{2}}{1-2x}$-$\frac{1}{x}$），
=（$\frac{1}{x}$+$\frac{\sqrt{2}}{2x-1}$）$\frac{1-（2-\sqrt{2}）x}{x（2x-1）}$，
又∵x＞1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{\sqrt{2}}{2x-1}$＞0，x（2x-1）＞0；
∴當(dāng)1-（2-$\sqrt{2}$）x＞0，即1＜x＜$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)1-（2-$\sqrt{2}$）x＜0，即x＞$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）為減函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→1}$f（x）=-2，f（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）=1-2$\sqrt{2}$，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=-2，
故-2＜f（x）≤1-2$\sqrt{2}$；
故$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$的取值范圍是（-2，1-2$\sqrt{2}$]；
故答案為：（-2，1-2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及極限的定義的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用，屬于中檔題．