Question

8．定義在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x），若a=f（$\frac{π}{3}$），b=2f（0），c=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． a＞c＞b
• D． b＞c＞a

Answer 1

分析 把f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x）變形，可得sinx•f（x）-cosx•f′（x）＜0，令g（x）=f（x）cosx，則g′（x）=cosx•f′（x）-f（x）sinx＞0，從而得到函數(shù)g（x）為（0，$\frac{π}{2}$）上的增函數(shù)，由此可得$g（\frac{π}{3}）＞g（\frac{π}{6}）＞g（0）$，進(jìn)一步得到a，b，c的大�。�

解答 解：由f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x），得
sin2x•f（x）-cos2x•f'（x）-f'（x）＜0，即sin2x•f（x）-（cos2x+1）•f′（x）＜0，
∴sin2x•f（x）-2cos²x•f′（x）＜0，
即2sinx•cosx•f（x）-2cos²x•f′（x）＜0，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），則cosx＞0，∴sinx•f（x）-cosx•f′（x）＜0．
令g（x）=f（x）cosx，則g′（x）=cosx•f′（x）-f（x）sinx＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，
又函數(shù)定義域?yàn)椋?$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴$g（\frac{π}{3}）＞g（\frac{π}{6}）＞g（0）$，即$f（\frac{π}{3}）•cos\frac{π}{3}＞f（\frac{π}{6}）•cos\frac{π}{6}＞f（0）•cos0$，
∴$\frac{1}{2}f（\frac{π}{3}）＞\frac{\sqrt{3}}{2}f（\frac{π}{6}）＞f（0）$，則$f（\frac{π}{3}）$＞$\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$＞2f（0）．
∴a＞c＞b．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．