Question

已知函數(shù)f（x）=

ax(x＜0) (2-a)x+ 2a 3 (x≥0)

滿足對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0 成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2]
• B、（1，2）
• C、（

  3

  2

  ，2）
• D、[

  3

  2

  ，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，所以對于y=a^x，a＞1；對于y=(2-a)x+

2a

3

，a＜2，又a^x＞1，且1≤

2a

3

，進(jìn)而可得答案．

解答： 解：∵對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0 成立；
∴f（x₁）-f（x₂）與x₁-x₂同號(hào)，
即x₁-x₂＜0時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
∴x＜0時(shí)，f（x）=a^x，a＞1；
x≥0時(shí)，f（x）=(2-a)x+

2a

3

，a＜2，
又a^x＞1，（(2-a)x+

2a

3

）_max=

2a

3

≥1，即a≥

3

2

，
∴a∈[

3

2

，2），
故選：D

點(diǎn)評：考查單調(diào)性的定義，分段函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一次函數(shù)的單調(diào)性，以及對于單調(diào)性定義的利用．