Question

10．某工廠為制定下一階段生產(chǎn)某種產(chǎn)品的方案，工廠技術(shù)部門開展了兩項(xiàng)統(tǒng)計(jì)，其一是對(duì)該廠48名師傅生產(chǎn)的產(chǎn)品精度情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表1（單位：個(gè)）；其二是對(duì)某師傅加工零件個(gè)數(shù)n₁（單位：個(gè)）和加工時(shí)間t₁（單位：小時(shí)，i-1，2，…6）作了6次試驗(yàn)，并對(duì)獲得的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值如表2．
表1：48名師傅生產(chǎn)的產(chǎn)品精度統(tǒng)計(jì)表（單位：個(gè)）

類別	達(dá)到精品級(jí)	未達(dá)到精品級(jí)	總計(jì)
高級(jí)技工	22	6	28
中級(jí)技工	10	10	20
總計(jì)	32	16	48

表2：

$\overline{n}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}$	$\overline{t}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{t}_{i}$	$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}$ 2	$\sum_{i=1}^{6}{t}_{i}$ 2	$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}{t}_{i}$	$\sum_{i=1}^{6}$（ni-$\overline{n}$）2	$\sum_{i=1}^{6}$（ti-$\overline{t}$）2	$\sum_{i=1}^{6}$（ni-$\overline{n}$）（ti-$\overline{t}$）
4.5	4.125	139	109.562	112.75	17.5	7.468	11.375

（1）判斷是否有95%的把握人物產(chǎn)品達(dá)到精品級(jí)與師傅的職稱有關(guān)？說明你的理由；
（2）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷t與n是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若具有，依據(jù)表中數(shù)據(jù)求出t關(guān)于n的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，并預(yù)測(cè)該師傅加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？
附：（1）參考臨界值有：
參考公式：K²=$\frac{m（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中m=a+b+c+d．
（2）對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸線$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值K²，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；
（2）根據(jù)散點(diǎn)圖中各點(diǎn)分布特征，判斷兩個(gè)變量是否有線性相關(guān)關(guān)系；計(jì)算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫出回歸方程，利用回歸方差計(jì)算n=10時(shí)$\stackrel{∧}{t}$的值．

解答 解：（1）根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算K²=$\frac{48{×（22×10-10×6）}^{2}}{32×16×28×20}$≈4.286＞3.841，
對(duì)照臨界值表，得出有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品達(dá)到精品級(jí)與師傅的職稱有關(guān)；
（2）根據(jù)散點(diǎn)圖中各點(diǎn)成帶狀分布，得出兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；
計(jì)算$\overline{n}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$n_i=4.5，$\overline{t}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$t_i=4.125；
回歸系數(shù)為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{11.375}{17.5}$=0.65，
$\widehat{a}$=$\overline{t}$-$\widehat$$\overline{n}$=4.125-0.65×4.5=1.2，
∴t關(guān)于n的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{t}$=0.65n+1.2；
當(dāng)n=10時(shí)，$\stackrel{∧}{t}$=0.65×10+1.2=7.7，
∴預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要7.7小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了推理與計(jì)算能力，是中檔題．