Question

17．已知點O為三角形ABC內(nèi)一點，$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，則$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△AOC}}}}$=3．

Answer 1

分析 可作出圖形，取BC的中點D，AC的中點E，并連接OA，OB，OC，OD，OE，根據(jù)條件可以得到$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$，從而得出DE為△ABC的中位線，這樣即可得到AB=3OE，從而便有$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}=3$．

解答 解：如圖，取BC中點D，AC中點E，連接OA，OB，OC，OD，OE；

$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$$+2（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$
=$2\overrightarrow{OE}+4\overrightarrow{OD}$
=$\overrightarrow{0}$
∴$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$；
∴D，O，E三點共線，即DE為△ABC的中位線；
∴DE=$\frac{3}{2}$OE，AB=2DE；
∴AB=3OE；
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}=3$．
故答案為：3．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，以及向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)乘的幾何意義，三角形中位線的定義及性質(zhì)，三角形的面積公式．