Question

14．如圖，邊長為2的正方形 A BCD的頂點(diǎn) A，B分別在兩條互相垂直的射線 OP，OQ上滑動，則$\overrightarrow{{O}C}•\overrightarrow{{O}D}$的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 令∠OAB=θ，由邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸正半軸上，可得出D，C的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個向量，算出它們的數(shù)量積，通過三角函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：如圖：令OP為x軸，OQ為y軸，∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如圖∠DAX=$\frac{π}{2}$-θ，AB=2，故x_D=2cosθ+2cos（$\frac{π}{2}$-θ）=2cosθ+2sinθ，y_D=2sin（$\frac{π}{2}$-θ）=2cosθ
故$\overrightarrow{OD}$=2（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（2sinθ，2cosθ+2sinθ），即$\overrightarrow{OC}$=2（sinθ，cosθ+sinθ），
∴$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$=4（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=4+4sin2θ，
$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是8．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，設(shè)角引入坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，由于向量的運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系密切，所以在研究此類題時應(yīng)該想到設(shè)角來表示點(diǎn)的坐標(biāo)．