Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

1

2

．設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，△PF₁F₂的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：3x₀x+4y₀y-12=0分別與直線x=±2交于C、D兩點(diǎn)．
（1）判斷直線l與橢圓E交點(diǎn)的個數(shù)；
（2）試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以CD為直徑的圓恒過該定點(diǎn)？若存在，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ） 由題知：e=

c

a

=

1

2

，由△PF₁F₂的周長為6，可得2a+2c=6，又b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可．
（ II）（1）證法一：把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得

3x02+4y02

4

x2-6x0x+12-4y02=0，利用

x02

4

+

y02

3

=1，化為x2-2x0x+x02=0，解得x=x₀，即可得出．
證法二：由于點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，由

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒y=

b2- b2 a2 x2

⇒y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

．過點(diǎn)P與橢圓C相切的直線斜率k=y′|_x=x0．即可判斷出；
（2）令x=2得 C(2，

6-3x0

2y0

)，令x=-2得D(-2，

6+3x0

2y0

)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得CD的中點(diǎn)為(0，

3

y0

)，即可得出CD為直徑的圓方程為x2+(y-

3

y0

)2=

9x02+16y02

4y02

． 利用3x02+4y02=12，上式化簡得y0(x2+y2-1)-6y=0．即可得出．

解答： （Ⅰ） 解：由題知：e=

c

a

=

1

2

，
又∵△PF₁F₂的周長為6，
∴2a+2c=6，
解得a=2，c=1．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（ II）（1）證法一：
由

3x2+4y2=12 y= 3 y0 (1- xx0 4 )

，
消去y并整理得

3x02+4y02

4

x2-6x0x+12-4y02=0，
又∵

x02

4

+

y02

3

=1，即4y02=12-3x02，
得x2-2x0x+x02=0，解得x=x₀，
因此直線l與橢圓E只有一個交點(diǎn)．
證法二：∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，
由

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒y=

b2- b2 a2 x2

⇒y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

．
過點(diǎn)P與橢圓C相切的直線斜率k=y′|_x=x0．
因此直線l與橢圓E相切，
故直線l與橢圓E只有一個交點(diǎn)．
（2）解：令x=2得y C=

3

y0

(1-

x0

2

)，即 C(2，

6-3x0

2y0

)，
令x=-2得y D=

3

y0

(1+

x0

2

)，即D(-2，

6+3x0

2y0

)．
∴CD的中點(diǎn)為(0，

3

y0

)，|CD|=

16+ 9 x 2 0 y 2 0

．
故以CD為直徑的圓方程為x2+(y-

3

y0

)2=

9x02+16y02

4y02

．  
又∵3x02+4y02=12，上式化簡得y0(x2+y2-1)-6y=0．
令

x2+y2-1=0 -6y=0

，
解得

x=1 y=0

或

x=-1 y=0

．
故CD為直徑的圓恒過點(diǎn)（1，0）和（-1，0）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立利用△=0、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了圓過定點(diǎn)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．