Question

6．若正三棱錐P-ABC（底面是正三角形，頂點P在底面的射影是△ABC的中心）滿足|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{3}$，則該三棱錐外接球球心O到平面ABC的距離為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=PC=2$\sqrt{6}$，AB=4$\sqrt{3}$，如圖所示，將P-ABC視為正方體的一部分，球的半徑R=3$\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$，即可求出該三棱錐外接球球心O到平面ABC的距離．

解答 解：由題意，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=PC=2$\sqrt{6}$，AB=4$\sqrt{3}$，
如圖所示，將P-ABC視為正方體的一部分，球的半徑R=3$\sqrt{2}$，
OP=2$\sqrt{2}$，
所以該三棱錐外接球球心O到平面ABC的距離為3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查球內(nèi)接多面體的性質(zhì)的應用，考查了計算能力和數(shù)形結合思想，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．