4.《九章九術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若A1A=AB=2,當(dāng)陽馬B-A1ACC1體積最大時,則塹堵ABC-A1B1C1的體積為( 。
A.$\frac{8}{3}$B.$\sqrt{2}$C.2D.$2\sqrt{2}$

分析 設(shè)AC=x,BC=y,由陽馬B-A1ACC1體積最大,得到AC=BC=$\sqrt{2}$,由此能求出塹堵ABC-A1B1C1的體積.

解答 解:設(shè)AC=x,BC=y,由題意得x>0,y>0,x2+y2=4,
∵當(dāng)陽馬B-A1ACC1體積最大,
∴V=$\frac{1}{3}×$2x×y=$\frac{2}{3}xy$取最大值,
∵xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\sqrt{2}$時,取等號,
∴當(dāng)陽馬B-A1ACC1體積最大時,AC=BC=$\sqrt{2}$,
此時塹堵ABC-A1B1C1的體積V=SABC•AA1=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=2.
故選:C.

點評 本題考查塹堵ABC-A1B1C1的體積的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓Ω的方程;
(2)如圖,過橢圓Ω的右焦點F作兩條互相垂直的弦AB,CD.
①設(shè)AB,CD的中點分別為M,N,證明:直線MN必過定點,并求此定點坐標(biāo);
②若直線AB,CD的斜率均存在時,求由A,C,B,D四點構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍.

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