Question

16．已知平面內(nèi)點(diǎn)P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤12}\\{2x+y≥4}\\{y≥0}\end{array}\right.$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{2y+6}{3x+9}$的取值范圍為[$\frac{2}{9}$，$\frac{14}{9}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，z表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與D（-3，-3）連線的斜率的三分之二，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤12}\\{2x+y≥4}\\{y≥0}\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖陰影△ABC），
z=$\frac{2y+6}{3x+9}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{y+3}{x+3}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與D（-3，-3）連線的斜率的三分之二，
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)取區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A（0，4）時(shí)，z取最大值$\frac{14}{9}$，
當(dāng)取區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B（6，0）時(shí)，z取最小值$\frac{2}{9}$．
∴目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{2y+6}{3x+9}$的取值范圍為[$\frac{2}{9}$，$\frac{14}{9}$]
故答案為：[$\frac{2}{9}$，$\frac{14}{9}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．