如圖,已知?jiǎng)又本l過點(diǎn) P(4,0),交拋物線y2=2mx(m>0)于A、B兩點(diǎn),O為PQ的中點(diǎn).(1)求證:

∠AQP=∠BQP.(2)當(dāng)m=2時(shí),是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出l′的方程;如果不存在,試說明理由.

思路解析:(1)從圖中不難看出,要證∠AQP=∠BQP,只要證:kQA+kQB=0即可.(2)為探索性問題,一般假設(shè)直線存在,且被動(dòng)圓所截得的弦長恒為定值,說明與動(dòng)圓的直徑AP的斜率無關(guān).

(1)證明:設(shè)直線AB的方程為y=k(x-4),代入y2=2mx得

k2(x-4)2=2mx,∴k2x2-2(4k2+m)x+16k2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=16.

kQA==,kQB==.

∵kQA+kQB=+==0,

∴kQA+kQB=0,從而得∠AQP=∠BQP.

(2)解:當(dāng)m=2時(shí),拋物線方程為y2=4x.

假設(shè)存在直線l′:x=a被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值,設(shè)弦長為L,依據(jù)垂徑定理,可知(2=r2-d2,d是弦心距,r是圓的半徑,

∴(2=(-4)2+(2-(-a)2=-4x1+ax1++16-a2=(a-3)x1+16-a2.

為常數(shù),∴(a-3)x1+16-a2的取值與x1無關(guān).

∴a=3.∴存在直線l′:x=3,滿足以AP的直徑的圓截直線l′所得弦長為定值2.


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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y=ax2(a>0)上的點(diǎn)P(b,1)到焦點(diǎn)的距離為
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(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)如圖,已知?jiǎng)泳段AB(B在A右邊)在直線l:y=x-2上,且|AB|=
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,現(xiàn)過A作C的切線,取左邊的切點(diǎn)M,過B作C的切線,取右邊的切點(diǎn)為N,當(dāng)MN∥AB,求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳二模)如圖,已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F(0,1)且與x軸相切,點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F′,動(dòng)點(diǎn)F′的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)A(x0,y0)是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn),過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線,分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P、Q.
①證明:直線PQ的斜率為定值;
②記曲線C位于P、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l.若點(diǎn)B在l上,且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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已知拋物線C:y=ax2(a>0)上的點(diǎn)P(b,1)到焦點(diǎn)的距離為,
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)如圖,已知?jiǎng)泳段AB(B在A右邊)在直線l:y=x-2上,且,現(xiàn)過A作C的切線,取左邊的切點(diǎn)M,過B作C的切線,取右邊的切點(diǎn)為N,當(dāng)MN∥AB,求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年廣東省深圳市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F(1,0)且與x軸相切,點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F′,
動(dòng)點(diǎn)F′的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)A(x,y)是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn),過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線,分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P、Q.
①證明:直線PQ的斜率為定值;
②記曲線C位于P、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l.若點(diǎn)B在l上,且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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