Question

如圖，已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F（1，0）且與x軸相切，點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱點(diǎn)為F′，
動(dòng)點(diǎn)F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x，y）是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l．若點(diǎn)B在l上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)F′（x，y），則可得M（），圓M的直徑為|FF′|=，利用動(dòng)圓M與x軸相切，即可求得曲線C的方程；
（2）①確定A（x，），設(shè)P（x₁，），Q（x₂，），利用直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，可得它們的斜率互為相反數(shù)，從而可得直線PQ的斜率；
②由①可知，k_PQ=-，則若點(diǎn)B在曲線段L上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，曲線C在點(diǎn)B處的切線l∥PQ，設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，利用判別式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)F′（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)F（1，0）在圓M上，且點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱點(diǎn)為F′，
所以M（），…（1分）
且圓M的直徑為|FF′|=．…（2分）
由題意，動(dòng)圓M與x軸相切，所以=，兩邊平方整理得：x²=4y，
所以曲線C的方程為x²=4y．             …（5分）
（2）①證明：因?yàn)锳（x，y）是曲線C：x²=4y上的點(diǎn)，所以y=，∴A（x，）．
又點(diǎn)P、Q在曲線C：x²=4y上，所以可設(shè)P（x₁，），Q（x₂，），…（6分）
而直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，所以它們的斜率互為相反數(shù)，
即=，整理得x₁+x₂=-2x．   …（8分）
所以直線PQ的斜率k_PQ===-為定值．      …（10分）
②解：由①可知，k_PQ=-，則若點(diǎn)B在曲線段L上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，
∴曲線C在點(diǎn)B處的切線l∥PQ． …（11分）
設(shè)l：y=，代入拋物線方程，消去y，得x²+2xx-4b=0．
令△=（2x）²-4×1×（-4b）=0，整理得b=-．…（12分）
代入方程組，解得x=-x，y=．
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-x，）． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．