Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）若函數(shù)，最小值為，求實數(shù)的值；

（2）當時，不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）換元，可得出，可得出關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，然后對該二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，可求出該函數(shù)的最小值，可解出實數(shù)的值；

（2）由題意得出不等式在區(qū)間上無解，可得出對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可求出實數(shù)的取值范圍.

（1）令，因為，所以．設(shè)，則，化簡得，，

當，即時，有，解得或；

當，即時，有，解得（舍去）．

因此，實數(shù)的值為或；

（2）不等式可化為，即．

因為當時，不等式的解集為，

所以當時，不等式的解集為，

則不等式對任意的恒成立，

令，，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以，從而，

因此，實數(shù)的取值范圍是．