Question

如圖，六面體ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求證：AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求證：AD⊥DC．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過點D作DO⊥BC，O為垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能證明AE∥面DBC．
（2）由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，從而AB⊥DC，由此能證明AD⊥DC．

解答： 證明：（1）過點D作DO⊥BC，O為垂足．
因為面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO?面DBC，
所以DO⊥面ABC．
又AE⊥面ABC，則AE∥DO．
又AE?面DBC，DO?面DBC，故AE∥面DBC．
（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB?面ABC，所以DO⊥AB．
又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC?平面DBC，則AB⊥面DBC．
因為DC?面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB?面ABD，則DC⊥面ABD．
又AD?面ABD，故可得AD⊥DC．

點評：本題第（1）問考查面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理；第（2）問通過線面垂直證線線垂直問題．