Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，O為AB中點．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）若AB=CB=2，A₁C=

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，求證：A₁O⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得 OC⊥AB，再根據(jù)△AA₁B為等邊三角形，可得OA₁⊥AB，再利用直線和平面垂直的判定定理證得AB⊥平面A₁OC，從而證得AB⊥A₁C．
（2）先利用勾股定理證明A1C2=OC2+OA12，可得 OA₁⊥OC．再結(jié)合A₁O⊥AB，證得A₁O⊥平面ABC．

解答：解：（1）由于AB的中點O，連接OC、OA₁，
因為CA=CB，所以O(shè)C⊥AB．
由于AB=A A₁，∠BA A₁=60⁰，故△AA₁B為等邊三角形，
所以O(shè)A₁⊥AB．
OC∩OA₁=O，∴AB⊥平面A₁OC，而A₁C?平面A₁OC，∴AB⊥A₁C．
（2）由題設(shè)知△ABC與△AA₁B 都是邊長為2的等邊三角形，
所以，∴OC=OA1=

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，又 A1C=

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，則A1C2=OC2+OA12，∴OA₁⊥OC．
∵OC∩AB=C，∴A₁O⊥平面ABC．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．