Question

(本小題滿分14分) 

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負(fù)半軸上

有一點，滿足，且.

   （1）求橢圓的離心率；

   （2）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

   （3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。  

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）

【解析】.解：（1）設(shè)B（x0，0），由（c，0），A（0，b）

    知

，

    由于 即為中點．

    故

，  

故橢圓的離心率                                    -------------4分

    （2）由（1）知得于是（，0）, B，

    △ABF的外接圓圓心為（，0），半徑r=|FB|=,

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求橢圓方程為.                         ------------8分

（3）由（2）知, ：

               代入得  

    設(shè)，

    則，     ----------10分

   

    由于菱形對角線垂直，則

    故

則

                   ---------12分

    由已知條件知且

    

    故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．        -----------14分