Question

16．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），A（0，-b），B（0，b），P為雙曲線上的一點(diǎn)，且|AB|=|BP|，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． [$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得2b=$\sqrt{{m}^{2}+（n-b）^{2}}$，轉(zhuǎn)化為n的函數(shù)，由配方可得最小值，由離心率公式，解不等式可得e的范圍．

解答 解：設(shè)P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
由|AB|=|BP|，可得2b=$\sqrt{{m}^{2}+（n-b）^{2}}$，
即有4b²=a²（1+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$）+（n-b）²，
即為3b²-a²=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$n²-2bn=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$（n-$\frac{^{3}}{{c}^{2}}$）²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
即有3b²-a²≥-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
即為（3c²-4a²）c²+（c²-a²）²≥0，
化簡可得4c⁴-6a²c²+a⁴≥0，
由e=$\frac{c}{a}$可得4e⁴-6e²+1≥0，（e＞1），
解得e²≥$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$，即為e≥$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．