Question

8．已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為正實數(shù)且a≠1）的圖象經(jīng)過點A（1，27），B（-1，3）
（1）試求a、b的值；
（2）若不等式a^x+b^x≥m在x∈[1，+∞）時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、B在圖象列出方程組，求出a、b的值；
（2）由（1）可得m≤3^x+9^x，令u（x）=3^x+9^x，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)u（x）在[1，+∞）上單調(diào)性，求出u（x）_min，由恒成立求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由已知可得，$\left\{\begin{array}{l}{b•a=27}\\{\frac{a}=3}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=9…（4分）
（2）由（1）可得m≤3^x+9^x，x∈[1，+∞），
令u=（x）3^x+9^x，x∈[1，+∞），只需m≤u_min…（6分），
因為函數(shù)u（x）=3^x+9^x在[1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，…（9分）
所以u（x）_min=12，
即實數(shù)m的取值范圍是：{m|m≤12}．…（12分）

點評 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．