Question

1．已知數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=3a_n+8n+6，若{a_n）為遞增數列，則實數a的取值范圍為（-7，+∞）．

Answer 1

分析 a_n+1=3a_n+8n+6，a₁=a，可得：n=1時，a₂=3a+14．n≥2時，a_n=3a_n-1+8n-2，相減可得：a_n+1-a_n+4=3（a_n-a_n-1+4），a=-9時，可得a_n+1-a_n+4=0，數列{a_n}是單調遞減數列，舍去．由數列{a_n+1-a_n+4}是等比數列，首項為2a+18，公比為3．利用“累加求和”方法可得a_n，根據{a_n）為遞增數列，因此?n∈N^*，a_n+1＞a_n都成立．解出即可得出．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+8n+6，a₁=a，
∴n=1時，a₂=3a₁+14=3a+14．
n≥2時，a_n=3a_n-1+8n-2，
相減可得：a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1+8，
變形為：a_n+1-a_n+4=3（a_n-a_n-1+4），
a=-9時，可得a_n+1-a_n+4=0，則a_n+1-a_n=-4，是單調遞減數列，舍去．
∴數列{a_n+1-a_n+4}是等比數列，首項為2a+18，公比為3．
∴a_n+1-a_n+4=（2a+18）×3^n-1．
∴a_n+1-a_n=（2a+18）×3^n-1-4．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2a+18）×（3^n-2+3^n-3+…+3+1）-4（n-1）+a
=（2a+18）×$\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$-4n+4+a
=（a+9）（3^n-1-1）-4n+4+a．
∵{a_n）為遞增數列，∴?n∈N^*，a_n+1＞a_n都成立．
∴（a+9）（3ⁿ-1）-4（n+1）+4+a＞（a+9）（3^n-1-1）-4n+4+a．
化為：a＞$\frac{2}{{3}^{n-1}}$-9，
∵數列{$\frac{2}{{3}^{n-1}}$}單調遞減，∴n=1時取得最大值2．
∴a＞2-9=-7．
即a＞-7．
故答案為：（-7，+∞）．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、“累加求和”方法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．