Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=AA₁=4，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD₁∥平面DOC₁；
（2）求異面直線(xiàn)AD₁和DC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接CD₁交C₁D于點(diǎn)E，連接OE，由E是CD₁中點(diǎn)，O是AC中點(diǎn)，知OE∥AD₁，由此能證明AD₁∥平面DOC₁．
（2）連接BC₁，BD，由E是PC中點(diǎn)，知EG∥DP．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AB∥A₁B₁∥C₁D₁，AB=A₁B₁=C₁D₁，知四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，所以∠BC₁D或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AD與C₁D所成的角，由此能求出異面直線(xiàn)AD₁與C₁D所成的角的余弦值．

解答：（1）證明：連接CD₁交C₁D于點(diǎn)E，連接OE
∵E是CD₁中點(diǎn)，O是AC中點(diǎn)∴OE∥AD₁
又∵OE?平面DOC₁，AD₁?平面DOC₁
∴AD₁∥平面DOC₁…（6分）
（2）解：連接BC₁，BD
∵E是PC中點(diǎn)∴EG∥DP在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁∥C₁D₁，AB=A₁B₁=C₁D₁
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形
∴BC₁∥AD₁
∴∠BC₁D或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AD與C₁D所成的角…（3分）
在△BC₁D中，BC₁=4

2

，C₁D=5，BD=5，
∴cos∠BC₁D=

2 2

5

，
∴異面直線(xiàn)AD₁與C₁D所成的角的余弦值為

2 2

5

．…（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查異面直線(xiàn)所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．