Question

12．設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）的圖象上一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-3）³），$\overrightarrow$=（x-y-1，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．?dāng)?shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，則a₁+a₂+…+a₇=（　�。�

• A． 0
• B． 7
• C． 14
• D． 21

Answer 1

分析 利用向量的垂直，求出函數(shù)的解析式，通過數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：由題意P（x，y）是函數(shù)y=f（x）的圖象上一點(diǎn)，
向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-3）³），$\overrightarrow$=（x-y-1，1），
且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．知x-y-1+（x-3）³=0，
y=（x-3）³+x-1，
所以$[（{a}_{1}-3）^{3}+{a}_{1}-1]+[（{a}_{2}-3）^{3}+{a}_{2}-1]+…+[（{{a}_{7}-3）}^{3}+{a}_{7}-1]=14$，
即$[（{a}_{1}-3）^{3}+{a}_{1}-3]+[（{a}_{2}-3）^{3}+{a}_{2}-3]+…+[（{a}_{7}-3）^{3}+{a}_{7}-3]=0$．
而f（x）=x³+x是奇函數(shù)，所以a₄-3=0，所以a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合，向量與數(shù)列的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．