Question

9．已知向量$\vec a$，$\vec b$滿足$\vec a$=$（-2sinx，\sqrt{3}（cosx+sinx））$，$\vec b$=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=$\vec a$•$\vec b$（x∈R）．
（Ⅰ）將f（x）化成Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的形式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ） 求函數(shù)f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的恒等變換，求出f（x）并化簡即可；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)f（x）的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\vec a$=$（-2sinx，\sqrt{3}（cosx+sinx））$，$\vec b$=（cosx，cosx-sinx），
∴f（x）=$\vec a$•$\vec b$
=-2sinxcosx+$\sqrt{3}$（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=-sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2（sin2xcos$\frac{2π}{3}$+cos2xsin$\frac{2π}{3}$）
=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
（Ⅱ）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，∴2x∈[0，π]，
∴2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]；
即f（x）的值域是$[-2，\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．