Question

4．已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=60°，AC=BC=4，AA₁=6，E、F分別是棱CC₁、AB的中點．
（1）求證：平面 AEB₁⊥平面AA₁B₁B；
（2）求四棱錐A-ECBB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中點G，AB的中點F，連接FG，EG，由已知得四邊形ECFG是平行四邊形，從而EG∥CF，由此能證明面AEB₁⊥面AA₁B₁B．
（2）作AH垂直BC于點H，AH⊥面BCC₁B₁，由此能求出四棱錐A-ECBB₁的體積．

解答 （1）證明：取AB₁的中點G，AB的中點F，連接FG，EG，
則$FG∥B{B_1}，F(xiàn)G=\frac{1}{2}B{B_1}$．
∵EC∥BB₁，EC=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，∴FG∥EC，F(xiàn)G=EC，
∴四邊形ECFG是平行四邊形，…（3分）
∴EG∥CF．
由于AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵BB₁⊥CF，BB₁∩AB=B．∴CF⊥面AA₁B₁B，∴EG⊥面AA₁B₁B．
∵EG?面AEB₁，∴面AEB₁⊥面AA₁B₁B．…（6分）
（2）解：作AH垂直BC于點H，由AC=BC=4，∠ACB=60°，∴$AH=2\sqrt{3}$．…（8分）
∵AH⊥BC，BC=面ABC∩面BCC₁B₁，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AH⊥面BCC₁B₁．…（9分）$\begin{array}{l}{S_{BCE{B_1}}}=18$，
∴${V_{A-BCE{B_1}}}=\frac{1}{3}AH•{S_{BCE{B_1}}}=12\sqrt{3}\end{array}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．