Question

19．已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊落在射線y=$\frac{1}{2}x$（x≤0）上．
（Ⅰ）求cos（$\frac{π}{2}$+θ）的值；
（Ⅱ）若cos（α+$\frac{π}{4}$）=sinθ，求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義取點(diǎn)（-2，-1），進(jìn)行求解即可求cos（$\frac{π}{2}$+θ）的值；
（Ⅱ）若cos（α+$\frac{π}{4}$）=sinθ，求出sin2α=$\frac{3}{5}$，cos2α=±$\frac{4}{5}$，再求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵角θ的終邊在射線y=$\frac{1}{2}x$（x≤0）上，
∴取點(diǎn)P（-2，-1），
則r=|OP|=$\sqrt{（-2）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
則sinθ=$\frac{y}{r}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（$\frac{π}{2}$+θ）=-sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）cos（α+$\frac{π}{4}$）=sinθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，展開可得cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$
兩邊平方可得1-sin2α=$\frac{2}{5}$，∴sin2α=$\frac{3}{5}$，∴cos2α=±$\frac{4}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{3}{5}$±$\frac{4}{5}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$或-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)求值，考查和角的余弦、正弦公式，利用三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．