Question

10．直線l：y=$\sqrt{3}$x+2與圓O：x²+y²=4交于A、B兩點，分別過A、B兩點作圓O的切線，這兩條切線相交于C點，將向量$\overrightarrow{OC}$繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ后，得到向量$\overrightarrow{OD}$，當(dāng)θ變化時，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$的最大值是（　　）

• A． 18
• B． 22
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 由直線l：y=$\sqrt{3}$x+2與圓O：x²+y²=4組成方程組，求出點A、B的坐標(biāo)；
再求出過點A、B的圓O的切線，由此求出點C的坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{OC}$；
求出將向量$\overrightarrow{OC}$繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ后，得到向量$\overrightarrow{OD}$，
計算$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$的最大值即可．

解答 解：由直線l：y=$\sqrt{3}$x+2與圓O：x²+y²=4組成方程組，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+2}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
∴點A（0，2），B（-$\sqrt{3}$，-1）；
過點A、B作圓O的切線分別為y=2，和y+1=-$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y+1=-\sqrt{3}（x+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$；
∴C（-2$\sqrt{3}$，2），
∴$\overrightarrow{OC}$=（-2$\sqrt{3}$，2）；

即$\overrightarrow{OC}$=（4cos$\frac{5π}{6}$，4sin$\frac{5π}{6}$）；
將向量$\overrightarrow{OC}$繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ后，得到向量$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OD}$=（4cos（$\frac{5π}{6}$+θ），4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）），
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=4cos（$\frac{5π}{6}$+θ）•（4cos（$\frac{5π}{6}$+θ）+$\sqrt{3}$）+（4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）-2）•（4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）+1）
=4$\sqrt{3}$cos（$\frac{5π}{6}$+θ）-4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）+14
=8cos（$\frac{5π}{6}$+θ+$\frac{π}{6}$）+14；
當(dāng)θ=π時，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$取得最大值是8+14=22．
故選：B．

點評 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．