Question

3．為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現對30名六年級學生進行了問卷調查，得到如下2×2列聯(lián)表，平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖．已知在這30人中隨機抽取1人，抽到肥胖的學生的概率為$\frac{4}{15}$．

	常喝	不常喝	合計
肥胖	6	2	8
不肥胖	4	18	22
合計	10	20	30

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整．是否有99.5%的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關？說明你的理由．
（2）現從常喝碳酸飲料且肥胖的學生（其中有2名女生）中，抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到1男1女的概率是多少？
（3）現從常喝碳酸飲料的學生中抽取3人參加電視節(jié)目，記ξ表示常喝碳酸飲料且肥胖的學生人數，求ξ的分布列及數學期望．
參考數據：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）根據題意求出常喝碳酸飲料且肥胖的學生數，填寫列聯(lián)表，計算觀測值K²，比較臨界值表即可得出結論；
（2）利用列舉法求出基本事件數，計算對應的概率值；
（3）由題意知ξ可能取值，計算對應的概率值，寫出ξ的分布列與數學期望值Eξ即可．

解答 解：（1）設常喝碳酸飲料且肥胖的學生有x人，則$\frac{x+2}{30}$=$\frac{4}{15}$，解得x=6；
列聯(lián)表如下：

	常喝	不常喝	合計
肥胖	6	2	8
不肥胖	4	18	22
合計	10	20	30

由已知數據可得觀測值K²=$\frac{30（6×18-2×4）2}{10×20×8×22}$≈8.523＞7.879，
因此有99.5%的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關；
（2）（文）設常喝碳酸飲料且肥胖的男生為A，B，C，D，女生為E，F，
則任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種．
其中是1男1女的有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8種，
所以正好抽到1男1女的概率為P=$\frac{8}{15}$；
（3）（理）由題意知ξ可能取值為0，1，2，3，則有
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{0}{•C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{4}{120}$=$\frac{1}{30}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}{•C}_{4}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{20}{120}$=$\frac{1}{6}$；
ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

所以Eξ=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了用列舉法求古典概率的計算問題，離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是綜合性題目．