Question

8．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且滿足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃，數(shù)列{${\frac{a_n}{b_n}}\right.$}的前n項和T_n，若T_n＜M對一切正整數(shù)n都成立，則M的最小值為10．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式分別求出{a_n}以及{b_n}和{${\frac{a_n}{b_n}}\right.$}的通項公式，利用錯位相減法進行求和，利用不等式恒成立進行求解即可．

解答 解：設數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
由b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
得$\left\{\begin{array}{l}q+6+d=10\\ 3+4d-2q=3+2d\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=2\end{array}\right.$
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，${b_n}={2^{n-1}}$．
則${\frac{a_n}{b_n}}\right.$=$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，
T_n=3+$\frac{5}{2}$+$\frac{7}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，
所以$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
兩式作差得$\frac{1}{2}$T_n=3+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$
=3+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=3+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=3+2-2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
即T_n=10-（$\frac{1}{2}$）^n-3-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$＜10，
由T_n＜M對一切正整數(shù)n都成立，
∴M≥10，
故M的最小值為10，
故答案為：10

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列求和的計算，利用錯位相減法是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．