Question

設f（x）=（k+1）x²-（2k+1）x+1，x∈R，若x∈（1，3），f（2^x-x）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：令t=2^x-x，可求1＜t＜5，原命題等價于等價于1＜t＜5時，f（t）＞0恒成立；即（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，再分三種情況討論二次函數得出結論．

解答： 解：令t=2^x-x，
t′=2^xln2-1，∵x＞1，∴2^x＞2，∴2xln2-1＞2ln2-1=ln

4

e

＞ln1=0，
∴x∈（1，3）時，t′＞0，∴t=2^x-x在x∈（1，3）上遞增，∴1＜t＜5，
故x∈（1，3），f（2^x-x）＞0恒成立，等價于1＜t＜5時，f（t）＞0恒成立；即（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，
當k+1=0時，即k=-1時，不等式變?yōu)閠+1＞0，故1＜t＜5時，f（t）＞0恒成立；∴k=-1滿足要求；
當k+1≠0時，令g（t）=（k+1）t²-（2k+1）t+1，對稱軸為x=1-

1

2(k+1)

，
①當k+1＞0即k＞-1時，拋物線開口向上，對稱軸x=1-

1

2(k+1)

＜1，故函數在（1，5）遞增，只要g（1）＞0即可，
∴（k+1）-（2k+1）+1＞0，∴k＜1，
此時k的范圍為-1＜k＜1；
②當k+1＜0即k＜-1時，拋物線開口向下，對稱軸x=1-

1

2(k+1)

＞1，又函數恒過（0，1），如圖：

只要g（5）＞0，∴（k+1）5²-5（2k+1）+1＞0，∴k＞-

7

5

此時k的范圍為-

7

5

＜k＜-1；
綜上，k的范圍為{k|-

7

5

＜k＜1}

點評：本題主要考查函數與不等式之間的關系，綜合性較強，屬于較難的題目．