Question

已知函數(shù)．
（1）求它的定義域和值域；
（2）求它的單調(diào)區(qū)間；
（3）判斷它的奇偶性；
（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．

Answer 1

【答案】分析：（1）令對數(shù)的真數(shù)大于0求出x的范圍為定義域，據(jù)三角函數(shù)的有界性求出值域．
（2）函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，據(jù)符號函數(shù)的單調(diào)性同增異減，外函數(shù)是減函數(shù)，求出內(nèi)函數(shù)的遞增區(qū)間為函數(shù)的遞減區(qū)間；內(nèi)函數(shù)的遞減區(qū)間為函數(shù)的遞增區(qū)間
（3）判斷函數(shù)的奇偶性先看定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．
（4）據(jù)函數(shù)最小正周期的定義，求出周期．
解答：解：（1）由題意得sinx-cosx＞0即，從而得，
∴函數(shù)的定義域為（k∈Z）．
∵，
故0＜sinx-cosx≤，所以函數(shù)f（x）的值域是．
（2）∵
令解得
令解得
結(jié)合函數(shù)的定義域知
單調(diào)遞增區(qū)間是（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間是（k∈Z）．
（3）因為f（x）定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點不關(guān)于原點對稱，
故f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（4）∵=f（x），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π．
點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．