Question

(本小題滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1，1)，P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．

( I)求點P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM?若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得，

，

整理得軌跡的方程為（且）.·············· 4分

（Ⅱ）方法一、

設，

由可知直線，則，

故，即，········ 6分

由三點共線可知，

與共線，

∴　，

由（Ⅰ）知，故，········· 8分

同理，由與共線，

∴　，

即，

由（Ⅰ）知，故，············ 10分

將，代入上式得，

整理得，

由得， ························· 12分

由，得到，因為，所以，

由，得，∴的坐標為． ············· 14分

方法二、設

由可知直線，則，

故，即，···················· 6分

∴直線OP方程為：   ①；····················· 8分

直線QA的斜率為：，

∴直線QA方程為：，即  ②；··· 10分

聯(lián)立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．············ 12分

由，得到，因為，所以，

由，得，∴的坐標為．············· 14分

 

【解析】略