Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2，AD= ，∠DAB= ，PD⊥AD，PD⊥DC．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D為 ，求AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵AB=2，AD= ，∠DAB= ， ∴BD= =1
∴AB2=AD2+BD2 ， ∴AD⊥BD，∴BC⊥BD
∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：由（1）所證，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即為二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=
而BD=1，所以PD= ，
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，1，0），P（0，0， ）
所以 =（﹣ ，0， ）， =（﹣v，0，0）， =（0，﹣1， ），
設(shè)平面PBC的法向量為 =（a，b，c），∴
可解得 =（0， ，1），
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=| |= ．

【解析】（Ⅰ）證明BC⊥BD，PD⊥BC，即可證明BC⊥平面PBD；（Ⅱ）確定∠PBD即為二面角P﹣BC﹣D的平面角，分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得AP與平面PBC所成角的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．