Question

動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)A（0，1）且與直線y=-1相切，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)圓P的圓心軌跡曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)A作直線L交曲線C于D，E兩點(diǎn)，求弦DE的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）在（2）中求△ODE的重心G的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線

分析：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)P到A（0，1）的距離等于點(diǎn)P到直線y=-1的距離．由此結(jié)合拋物線的定義，即可求出軌跡C的方程；
（2）設(shè)出D，E，M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求弦DE的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）設(shè)出G與M的坐標(biāo)，由向量關(guān)系把M的坐標(biāo)用G的坐標(biāo)表示，代入（2）中的方程得答案．

解答： 解：（1）∵動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（0，1），且與直線y=-1相切，
∴點(diǎn)P到A（0，1）的距離等于點(diǎn)P到直線y=-1的距離．
因此，點(diǎn)P的軌跡是以A（0，1）為焦點(diǎn)、y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)該拋物線方程為x²=2py，可得

p

2

=1，解得p=2，
∴拋物線方程為x²=4y，即為所求軌跡C的方程；
（2）設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），M（x，y）．
則x12=4y1，x22=4y2，兩式作差得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
即

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

，
∴

y-1

x-0

=

2x

4

，整理得：x²=2（y-1）；
（3）設(shè)△ODE的重心G（x′，y′），M（x₀，y₀）．
則

OG

=2

GM

，即（x′，y′）=(2x0-2x′，2y0-2y′)，
解得：x0=

3

2

x′，y0=

3

2

y′，代入x²=2（y-1），得(

3

2

x′)2=2(

3

2

y′-1)，
整理得：9（x′）²=12y′-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線方程的求法，考查了點(diǎn)差法求與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題，訓(xùn)練了利用代入法求曲線的軌跡方程，是壓軸題．